第十二章 特殊函数

    特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等; 另外一些是由特定形式的积分所定义的函数,如-函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常用性质.

本章引用如下符号

        

       

式中为正整数，为任意数.

§1 由积分定义的特殊函数

一、        伽马函数（-函数）

[-函数的定义与其他表达式]

     

右边称为第二类欧拉积分.

      

积分路线从负实轴上无穷远处出发，正向绕原点一周，再回到出发点（图12.1）

是的半纯函数，在具有单极点，相应的留数为

        

       

式中称为欧拉常数。

[函数有关公式]

             

             为正整数

特别            

       （余元公式）

特别               

   

    

   

   

                （乘法公式）

                              （倍元公式）

   

             

   

                       

[-函数的渐近表达式]

  斯特林公式

   

         

                                    

当为正实数时，

                  (i)           

式中

                (ii)                  

 

式中为伯努利数（§7）.

    [可化为-函数的积分]